Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=$\frac{2}{3}$，sinB=2cosC且c²-a²=b，则b=3．

Answer 1

分析 由c²-a²=b，可得c＞a，A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，利用余弦定理可求$\frac{b+1}{2c}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，根据两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式进而可求tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，从而由正弦定理可得$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{tanC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，联立即可解得b的值．

解答 解：∵c²-a²=b，可得：c²=a²+b，即c＞a，
∴A为锐角，
∵sinA=$\frac{2}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+b}{2bc}$=$\frac{b+1}{2c}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，①
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2}{3}$cosC+$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinC=2cosC，
可得：tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{2cosC}{sinC}$=$\frac{2}{tanC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，②
由①②可得b=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．