Question

3．已知{a_n}数列的首项为a₁，满足${a_n}+{a_{n-1}}=n•{（-1）^{\frac{n（n+1）}{2}}}（n∈N，n≥2）$，S₂₀₁₇=-1006-b，且a₁b＞0，则$\frac{1}{a_1}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 ${a_n}+{a_{n-1}}=n•{（-1）^{\frac{n（n+1）}{2}}}（n∈N，n≥2）$，可得a_2k+a_2k+1=（2k+1）•（-1）^{（2k+1）（k+1）}=（2k+1）•（-1）^k+1．于是S₂₀₁₇=a₁+3-5+7-9+…+2015-2017=a₁-1008=-1006-b，可得a₁+b=2．且a₁b＞0，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵${a_n}+{a_{n-1}}=n•{（-1）^{\frac{n（n+1）}{2}}}（n∈N，n≥2）$，
∴a_2k+a_2k+1=（2k+1）•（-1）^{（2k+1）（k+1）}=（2k+1）•（-1）^k+1．
∴S₂₀₁₇=a₁+3-5+7-9+…+2015-2017=a₁-2×504=a₁-1008=-1006-b，
∴a₁+b=2．且a₁b＞0，
则$\frac{1}{a_1}+\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+b）$$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{4}{b}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{b}{{a}_{1}}+\frac{4{a}_{1}}{b}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{4}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当b=2a₁=$\frac{4}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、分组求和、基本不等式性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．