Question

已知函数y=（sinx+cosx）²+2cos²x，求：
（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函数y的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用同角的平方关系，二倍角公式及和差公式，化简得到y=

2

sin（2x+

π

4

）+2，由正弦函数的最值和周期公式，即可得到答案；
（2）由正弦函数的单调增区间，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x的范围，即可得到增区间．

解答： 解：（1）y=（sinx+cosx）²+2cos²x
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=1+2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
则函数y的最大值为2+

2

，最小值为2-

2

，
最小正周期为

2π

2

=π；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即有kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
函数y的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的最值和周期，以及单调性，考查运算能力，属于中档题．