Question

已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）取a=-1把函数分段，然后分段求解方程f（x）=1；
（2）分x≥a和x＜a对函数分段，然后由f（x）在R上单调递增得到不等式组

a+1 4 ≤a a+1＞0

，求解不等式组得到实数a的取值范围；
（3）写出分段函数g（x），不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式得答案．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
故有f(x)=

2x2-1， x≥-1 1， x＜-1

，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x²-1=1，解得x=1或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立．
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}；
（2）f(x)=

2x2-(a+1)x+a，  x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
若f（x）在R上单调递增，则有

a+1 4 ≤a a+1＞0

，解得a≥

1

3

．
∴当a≥

1

3

时，f（x）在R上单调递增；
（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），
则g(x)=

2x2-(a+3)x+a+3，x≥a (a-1)x-a+3，  x＜a

，
不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．
∵a＜1，
∴当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a²-2a+3，+∞），
由于a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，
∴g（x）≥0成立．
当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知a＜

a+3

4

，g（x）在x=

a+3

4

处取得最小值，
令g(

a+3

4

)=a+3-

(a+3)2

8

≥0，解得-3≤a≤5，
又a＜1，
∴-3≤a＜1．
综上，a∈[-3，1）．

点评：不同考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，体现了数学转化思想方法，考查了不等式的解法，是压轴题．