Question

已知函数f（x）=|x-2|+x+m．
（1）若函数f（x）的值域是[2，+∞），试确定m的值；
（2）设函数g（x）=|x+1|，且当x≤3时，g（x）≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）写出分段函数，利用一次函数的单调性求得函数的值域，结合函数f（x）的值域是[2，+∞）求得m的值；
（2）把当x≤3时，g（x）≥f（x）恒成立转化为m≤|x+1|-|x-2|-x当x≤3时恒成立，构造辅助函数
t（x）=|x+1|-|x-2|-x（x≤3），分段求其最小值后得答案．

解答： 解：（1）f（x）=|x-2|+x+m=

2x+m-2，x≥2 m+2，x＜2

，
∵函数f（x）=2x+m-2为增函数，
∴当x=2时函数有最小值为m+2，
∴函数f（x）的值域是[m+2，+∞），
又函数f（x）的值域是[2，+∞），
∴m=0；
（2）∵f（x）=|x-2|+x+m，g（x）=|x+1|，且当x≤3时，g（x）≥f（x）恒成立，
即|x+1|≥|x-2|+x+m当x≤3时恒成立，
也就是m≤|x+1|-|x-2|-x当x≤3时恒成立，
令t（x）=|x+1|-|x-2|-x（x≤3），
则t（x）=

-3-x，x＜-1 x-1，-1≤x＜2 3-x，x≥2

，
∵x≤3，
∴t（x）_min=-2．
∴m≤-2．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．