Question

3．$a=\frac{1}{4}$是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a-1）x+（a+1）y-3=0相互垂直”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．

解答 解：对于：直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a-1）x+（a+1）y-3=0，
当a=0时，分别化为：x+1=0，-x+y-3=0，此时两条直线不垂直，舍去；
当a=-1时，分别化为：-3y+1=0，-2x-3=0，此时两条直线相互垂直，因此a=-1满足条件；
当a≠-1，0时，两条直线的斜率分别为：$-\frac{a+1}{3a}$，$\frac{1-a}{a+1}$，由于两条直线垂直，可得$-\frac{a+1}{3a}$×$\frac{1-a}{a+1}$=-1，解得a=$\frac{1}{4}$或-1（舍去）．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=$\frac{1}{4}$或-1．
∴$a=\frac{1}{4}$是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a-1）x+（a+1）y-3=0相互垂直”的充分而不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．