Question

12．已知点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得焦点三角形为直角三角形，再由tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，得到|PF₁|=2|PF₂|，结合椭圆定义求出|PF₁|，|PF₂|，代入勾股定理得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可知△PF₁F₂为直角三角形，
又tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，可得|PF₁|=2|PF₂|，
联立|PF₁|+|PF₂|=2a，解得：|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2}{3}a$．
由$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，得$\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}=4{c}^{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}$．
∴$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是中档题．