Question

14．已知点M（x₁，y₁）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上的动点，点N（x₂，y₂）是直线l：x+2y-7=0上的动点，则|x₁-x₂|+|y₁-y₂|的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的参数方程与直线的方程分别求出|x₁-x₂|与|y₁-y₂|的最小值，比较即可得出．

解答 解：①取x₁=x₂∈[0，2$\sqrt{2}$]，
则y₁=$\sqrt{2-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}$，y₂=$\frac{1}{2}（7-{x}_{1}）$
则|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}（7-{x}_{1}）$-$\sqrt{2-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}$=$\frac{7}{2}$-$（\frac{1}{2}{x}_{1}+\sqrt{2-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}）$，
令x₁=2$\sqrt{2}$cosθ$（θ∈[0，\frac{π}{2}]）$，则|y₁-y₂|=$\frac{7}{2}$-$（\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ）$=$\frac{7}{2}$-2$sin（θ+\frac{π}{4}）$≥$\frac{7}{2}$-2=$\frac{3}{2}$．
②取y₁=y₂∈[0，$\sqrt{2}$]，
则x₁=$\sqrt{8-4{y}_{1}^{2}}$，x₂=7-2y₂．
则|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=7-2y₁-$\sqrt{8-4{y}_{1}^{2}}$=7-（2y₁+$\sqrt{8-4{y}_{1}^{2}}$），
令y₁=$\sqrt{2}$sinθ$（θ∈[0，\frac{π}{2}]）$，则|x₁-x₂|=7-（2$\sqrt{2}$sinθ+2$\sqrt{2}$cosθ）=7-4$sin（θ+\frac{π}{4}）$≥3．
综上可得：|x₁-x₂|+|y₁-y₂|的最小值是$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、“换元法”、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．