Question

14．设函数$f（x）=\frac{{6sinxcosx-4cosx{{sin}^3}x}}{{2\sqrt{2}+sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x+\frac{π}{4}）}}$，则（　　）

• A． y=f（x）是偶函数，在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递增
• B． y=f（x）是奇函数，在$（0，\frac{π}{4}）$上单调递增
• C． y=f（x）是偶函数，在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递减
• D． y=f（x）是奇函数，在$（0，\frac{π}{4}）$上单调递减

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x，利用正弦函数的图象和性质可得单调性和奇偶性，从而得解．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{6sinxcosx-4cosx{{sin}^3}x}}{{2\sqrt{2}+sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{3sin2x-sin2x+sin2xcos2x}{\sqrt{2}cos2x+2\sqrt{2}}$=$\frac{sin2x（2+cos2x）}{\sqrt{2}（cos2x+2）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，可得f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上单调递增，且利用正弦函数的图象和性质可得f（x）为奇函数．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．