Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{{3{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}-1}}}\right\}$是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a₁a₂•…•a_n，求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式公式可得数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}-1}}}\right\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，即可求出{a_n}的通项公式，
（2）利用累乘法得到b_n，再裂项求和即可得到数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{3{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$，
∴a_n+1-1=$\frac{{3{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$-1=$\frac{2（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{n}+1}{2（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=3，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}-1}}}\right\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{n+2}{n}$
（2）∵b_n=a₁a₂•…•a_n，
∴b_n=$\frac{3}{1}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{5}{3}$×…×$\frac{n}{n-2}$×$\frac{n+1}{n-1}$×$\frac{n+2}{n}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{n}{n+2}$

点评 本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了学生的分析问题和转化问题的能力，以及运算能力，属于中档题．