Question

15．已知函数f（x）=x²-x，g（x）=e^x-ax-1（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=e^x-a，由a≤0和a＞0分类讨论，由此能求出结果．
（2）当x＞0时，$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1（x＞0）$，则$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）-{x^2}+1}}{x^2}$令φ（x）=e^x（x-1）-x²+1（x＞0），则φ'（x）=x（e^x-2），由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵g（x）=e^x-ax-1，∴g'（x）=e^x-a
①若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②若a＞0，当x∈（-∞，lna]时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
（2）当x＞0时，x²-x≤e^x-ax-1，即$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$
令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1（x＞0）$，则$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）-{x^2}+1}}{x^2}$
令φ（x）=e^x（x-1）-x²+1（x＞0），则φ'（x）=x（e^x-2）
当x∈（0，ln2）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（ln2，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增
又φ（0）=0，φ（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ（x）=（x-1）（e^x-x-1＞0，即h'（x）＞0，
∴h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=e-1，
∴实数a的取值范围是（-∞，e-1]．

点评 本题考查函数的单调性、实数的取值范围、导数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．