题目内容
已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M、N为圆C2与x轴的两个交点．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论．
考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设出抛物线方程，代入P，即可求出抛物线的方程；
（2）表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论
（2）表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论
解答：
解：（1）由已知，设抛物线方程为x2=2py，则
代入P（2，2），可得p=1，
∴抛物线C1的方程为x2=2y；
（2）设圆的圆心M（a，b），则圆的半径为
，
∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2
=2
=2
，
∵a2=2b，
∴|MN|=2；
∴|MN|是一定值．
代入P（2，2），可得p=1，
∴抛物线C1的方程为x2=2y；
（2）设圆的圆心M（a，b），则圆的半径为
| a2+(b-1)2 |
∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2
| r2-b2 |
| a2+2-2b+1-b2 |
| a2-2b+1 |
∵a2=2b，
∴|MN|=2；
∴|MN|是一定值．
点评：本题考查了待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，弦长公式的运用，属于难题．
练习册系列答案
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已知奇函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，在y轴右侧的图象如图，且f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集为根据表格中的数据，可以断定方程ex-（2x+4）=0（e≈2.72）的一个根所在的区间是（ ）
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ex | 0.37 | 1 | 2.70 | 7.29 | 19.68 |
| 2x+4 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| A、（-1，0） |
| B、（0，1） |
| C、（1，2） |
| D、（2，3） |