Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁S_n，n∈N*．
（Ⅰ）求a₁，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）首先利用递推关系式，求出数列的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用错位相减法求出前n项的和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₁=a₁∴n=1时2a₁-a₁=S₁•S₁
a₁≠0，a₁=1．
所以n≥2时，an=Sn-Sn-1=

2an-a1

S1

-

2an-1-a1

S1

=2an-2an-1⇒an=2an-1⇒{an}是首项为a1=1公比为q=2的等比数列，an=2n-1，n∈N*．
（Ⅱ）设T_n=1•a₁+2•a₂+3•a₃+…+n•a_n
qT_n=1•qa₁+2•qa₂+3•qa₃+…+n•qa_n
qT_n=1•a₂+2•a₃+3•a₄+…+n•a_n+1
利用错位相减得：(1-q)Tn=a1+a2+a3+…+an-nan+1=a1

1-qn

1-q

-nan+1=2n-1-n•2n．
Tn=(n-1)2n+1．

点评：本题考查的知识点：数列通项公式的求法，错位相减法的应用．