Question

10．已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1≤k{x}^{2}+2}\\{x+k≤2}\end{array}\right.$有唯一实数解，则实数k的取值集合{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}．

Answer 1

分析 根据不等式ax²+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解，即最大值$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$=M；不等式ax²+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解？最小值$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$=M，可以判断实数k的取值，要对参数k进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分别解答后，综合结论即得最终结果．

解答 解：若k=0，不等式组1≤kx²+2x+k≤2可化为：1≤2x≤2，不满足条件．
若k＞0，则若不等式组1≤kx²+2x+k≤2，$\frac{4-4{k}^{2}}{4k}$=2时，满足条件．
此时解得：k=$1+\sqrt{2}$
若k＜0，则若不等式组1≤kx²+2x+k≤2，$\frac{4-4{k}^{2}}{4k}$=1时，满足条件
此时解得：k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
所以：实数k的取值集合{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}
故答案为{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}．

点评 本题考查了不等式ax²+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解，最大值$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$=M；不等式ax²+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解，最小值$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$=M．属于基础题．