Question

1．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CC₁=2CB，∠ACB=90°，则直线BC₁与AB₁夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨取BC=1，则CA=CC₁=2CB=2．
C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，2），
∴cos$＜\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{-1+4}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+（-2）^{2}}\sqrt{0+（-1）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量夹角公式、异面直线所成的角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．