Question

19．若双曲线${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（b＞0）$的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1至多有一个交点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $（\;1，\;\sqrt{2}]$
• B． $（\;1，\;\sqrt{3}]$
• C． （1，2]
• D． （1，4]

Answer 1

分析 双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1至多有一个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离不小于半径r，解出即可．

解答 解：圆x²+（y-2）²=1的圆心（0，2），半径r=1．
∵双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x²+（y-2）²=1至多有一个交点，
∴$\frac{|0-2|}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$≥1，化为b²≤3．
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+b²≤4，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．
故选：C．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．