Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，E为BD上一点，且$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{ED}$．
（1）试用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示向量$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{EC}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$．

Answer 1

分析 （1）由向量的加减运算，及向量基本定理，即可得到所求向量；
（2）运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）-$\overrightarrow{AB}$
=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）
=-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-$\frac{2}{9}$×3-$\frac{2}{9}$×1-$\frac{5}{9}$×1
=-$\frac{13}{9}$．

点评 本题考查向量的加减和数量积的运算，考查向量的平方即为模的平方，以及运算能力，属于中档题．