Question

7．如图，某段铁路AB长为80公里，BC⊥AB，且BC=10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上的距点B为x的点M处修一公路至点C．已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元．
（1）将总运费y表示为x的函数．
（2）如何选点M才使总运费最小？

Answer 1

分析 （1）铁路AM上的运费为2（80-x），公路MC上的运费为$4\sqrt{100+{x^2}}$，然后列出总运费y表示为x的函数．
（2）利用函数的导数求解函数的最值即可．

解答 解：（1）依题意，铁路AM上的运费为2（80-x），
公路MC上的运费为$4\sqrt{100+{x^2}}$，
则由A到C的总运费为$y=2（{80-x}）+4\sqrt{100+{x^2}}（{0≤x≤80}）$．
…（6分）
（2）$y'=-2+\frac{4x}{{\sqrt{100+{x^2}}}}（{0≤x≤80}）$，…（8分）
令y'=0，解得$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$，或$x=-\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$（舍）．…（10分）
当$0≤x≤\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$时，y'≤0；当$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}≤x≤80$时，y'≥0；
故当$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$时，y取得最小值，
即当在距离点B为$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$公里时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…（12分）

点评 本题考查函数的实际应用，函数的导数的应用，最值的求法，考查转化思想以及计算能力．