Question

9．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，过其左焦点F作斜率为$\frac{1}{2}$的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B，若$\overrightarrow{FA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则双曲线的两条渐近线方程为（　　）

• A． $y=±\frac{1}{3}x$
• B． $y=±（\sqrt{2}-1）x$
• C． y=±x
• D． $y=±\frac{1}{4}x$

Answer 1

分析 由题意可得已知直线l的方程为：y=$\frac{1}{2}$（x+c），与两条渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x分别联立，解得A，B的坐标．利用$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，即可得出a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程．

解答 解：由题意可得F（-c，0），已知直线l的方程为：y=$\frac{1}{2}$（x+c），
与两条渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x分别联立，
解得A（-$\frac{ac}{a+2b}$，$\frac{bc}{a+2b}$），B（-$\frac{ac}{a-2b}$，-$\frac{bc}{a-2b}$）．
∵$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{bc}{a+2b}$=$\frac{1}{2}$（-$\frac{bc}{a-2b}$-$\frac{bc}{a+2b}$），
化为b=a，
则双曲线的渐近线为y=±x．
故选C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，以及向量共线的坐标表示，熟练掌握双曲线的渐近线与直线的方程的交点是解题的关键．