Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），短轴的一个端点为M，
△MF₁F₂为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，在直线y=-

1

2

上是否存在点N，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，a=2c=2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）在直线y=-

1

2

上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．设直线l的方程为y=kx-2，k≠0，联立

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-16kx+4=0，由△＞0，得k²＞

1

4

，由韦达定理得

OA

•

OB

≠0，由此得直线y=-

1

2

上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
短轴的一个端点为M，△MF₁F₂为等边三角形，
∴c=1，a=2c=2，∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）在直线y=-

1

2

上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．
理由如下：
∵过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，
∴当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，A（0，

3

），B（0，-

3

），
在直线y=-

1

2

上不存在点N，使得四边形OANB为矩形．
当直线l的斜率为0时，l的方程为y=-2，不成立，
∴设直线l的方程为y=kx-2，k≠0，
联立

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-16kx+4=0，
△=（-16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k²＞

1

4

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）•

4

3+4k2

-2k•

16k

3+4k2

+4=

4-24k2

3+4k2

，
∵k2＞

1

4

，∴

OA

•

OB

≠0，
∴直线y=-

1

2

上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．

点评：本题考查椭圆的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的灵活运用．