Question

阅读：已知a、b∈（0，+∞），a+b=1，求y=

1

a

+

2

b

的最小值．解法如下：y=

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=

b

a

+

2a

b

+3≥3+2

2

，当且仅当

b

a

=

2a

b

，即a=

2

-1，b=2-

2

时取到等号，则y=

1

a

+

2

b

的最小值为3+2

2

．应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值；
（2）已知x∈（0，

1

2

），求函数y=

1

x

+

8

1-2x

的最小值；
（3）已知正数a₁、a₂、a₃，…，a_n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=1，求证：S=

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+

a32

a3+a4

+…+

an2

an+a1

≥

1

2

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解（1）∵a+b+c=1，
∴y=

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=3+(

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

)≥3+2

b a • a b

+2

c a • a c

+2

c b • b c

=9，
当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号．即y=

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值为9．
（2）y=

2

2x

+

8

1-2x

=(

2

2x

+

8

1-2x

)(2x+1-2x)=10+2•

1-2x

2x

+8•

2x

1-2x

，
而x∈(0，

1

2

)，∴2•

1-2x

2x

+8•

2x

1-2x

≥2

2(1-2x) 2x • 8•2x 1-2x

=8，
当且仅当

2(1-2x)

2x

=

8•2x

1-2x

，即x=

1

6

∈(0，

1

2

)时取到等号，则y≥18，
∴函数y=

1

x

+

8

1-2x

的最小值为18．
（3）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=1，
∴2S=（

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+

a32

a3+a4

+…+

an2

an+a1

）[（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a₁）]
=(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)+[

a 2 1

a1+a2

(a2+a3)+

a 2 2

a2+a3

(a1+a2)+…+

a 2 n

an+a1

(a1+a2)+

a 2 1

a1+a2

(a3+a4)+…]
≥(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)+（2a₁a₂+2a₂a₃+…+2a_na₁）=(a1+a2+…+an)2=1．
当且仅当a₁=a₂=…=a_n=

1

n

时取到等号，则S≥

1

2

．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．