Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x，
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若α为锐角，且f（

α

2

）=

3

4

，求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，借助于二倍角公式化简函数解析式，f（x）═sin(2x-

π

6

)+1，然后，根据三角函数的图象和性质求解；
（2）根据f（

α

2

）=

3

4

，得到sin(α-

π

6

)=-

1

4

，然后，结合α为锐角，求解cos(α-

π

6

)=

15

4

，最后，结合α=（α-

π

6

）+

π

6

，求解sinα的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin2x
=cos2x•cos

π

3

+sin2x•sin

π

3

+(1-cos2x)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin(2x-

π

6

)+1
∴f（x）的最大值为2，最小正周期为π．    
（2）由f(

α

2

)=sin(α-

π

6

)+1=

3

4

得
sin(α-

π

6

)=-

1

4

，
∵0＜α＜

π

2

，
∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos(α-

π

6

)=

15

4

，
∴sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=sin(α-

π

6

)cos

π

6

+cos(α-

π

6

)sin

π

6

=

15 - 3

8

．
∴sinα的值

15 - 3

8

．

点评：本题重点考查了二倍角公式、两角和与差的三角公式、角的灵活拆分等知识，属于中档题．