Question

6．已知二次函数y=f（x）满足f（0）=3，f（1）=0且f（x+2）是偶函数．
（1）若f（x）在区间[2a，a+2]上不单调，求a的取值范围；
（2）若x∈[t，t+2]，试求y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得y=f（x）的对称轴为x=2，设出二次函数的两根式，结合f（0）=3求得函数解析式，得到函数的对称轴方程，由对称轴大于2a小于a+2求得a的取值范围；
（2）由（1）得到函数的对称轴，然后分类利用单调性求y=f（x）在[t，t+2]上的最小值．

解答 解：（1）由已知f（x+2）是偶函数，可得y=f（x）的对称轴为x=2，
∵y=f（x）是二次函数，且f（1）=0，∴f（3）=0，
设f（x）=a（x-1）（x-3），
又f（0）=3，∴3a=3，得a=1．
∴f（x）=x²-4x+3．
要使f（x）在区间[2a，a+2]上不单调，则2a＜2＜a+2，解得0＜a＜1．
∴a的取值范围是（0，1）；
（2）∵y=f（x）的对称轴x=2，
若t≥2，则y=f（x）在[t，t+2]上是增函数，${y_{min}}={t^2}-4t+3$；
若t+2≤2，即t≤0，则y=f（x）在[t，t+2]上是减函数，${y}_{min}=f（t+2）={t}^{2}-1$；
若t＜2＜t+2，即0＜t＜2，则y_min=f（2）=-1．
综上，当t≥2时，${y}_{min}={t}^{2}-4t+3$；当0＜t＜2时，y_min=-1；当t≤0时，${y}_{min}={t}^{2}-1$．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．