Question

15．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，求函数f（x）在[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值和最小值即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx可得，
f′（x）=x+$\frac{2}{x}$-3=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，2]上是减函数；
当x∈（2，e）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[2，e]上是增函数，
∴当x=2时，f（x）_min=f（2）=2ln2-4，
又f（1）=-$\frac{5}{2}$，f（e）=$\frac{1}{2}$e²-3e+2，
f（e）-f（1）=$\frac{1}{2}$e²-3e+2-（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$（e²-6e+9）=$\frac{1}{2}$（e-3）²＞0，
∴f（e）＞f（1），
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$e²-3e+2，
综上，函数f（x）在[1，e]上的最大值为$\frac{1}{2}$e²-3e+2，最小值为2ln2-4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．