题目内容
已知函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[
，
]上的最小值和最大值．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值
专题：三角函数的求值
分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得它的周期．
（2）根据f(x)=
sin(2x-
)在区间[
，
]上为增函数，在区间[
，
]上为减函数，从而求得函数的最大值和最小值．
（2）根据f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| 3π |
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| 3π |
| 8 |
| 3π |
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解答：
解：（1）∵f(x)=2(sinx-cosx)cosx+1=sin2x-cos2x=
sin(2x-
)，
∴函数f（x）的最小正周期为
=π．
（2）因为f(x)=
sin(2x-
)在区间[
，
]上为增函数，在区间[
，
]上为减函数，
又f(
)=0，f(
)=
，f(
)=
sin(
-
)=-
cos
=-1，
故函数f（x）在区间[
，
]上的最大值为
，最小值为-1．
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数f（x）的最小正周期为
| 2π |
| 2 |
（2）因为f(x)=
| 2 |
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| 8 |
| 3π |
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| 3π |
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又f(
| π |
| 8 |
| 3π |
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| 2 |
| 3π |
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| 3π |
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| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
故函数f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和最值，属于基础题．
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