Question

如图，⊙O的半径为2，AB是直径，CD是弦，直线CD交AB延长线于点P，

AE

=

AC

，ED交AB于点F．
（1）求证：PF•PO=PB•PA；
（2）若PB=2BF，试求PB的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由已知条件推导出△POC∽△PDF，由此能证明PF•PO=PB•PA．
（2）PB=2BF，设PB=x，则BF=

1

2

x，PF=

3

2

x，由已知得PO=x+2，PA=x+4，由（1）知PF•PO=PB•PA，由此能求出PB．

解答： 解：（1）∵AE=AC，∴∠EDC=∠AOC，
∴∠POC=∠FDP，∠P是公共角，
∴△POC∽△PDF，
∴PD•PC=PF•PO，
∵PD•PC=PB•PA，
∴PF•PO=PB•PA．
（2）∵PB=2BF，
∴设PB=x，则BF=

1

2

x，PF=

3

2

x，
又∵⊙O半径为2，∴PO=x+2，PA=x+4，
由（1）知PF•PO=PB•PA，
∴

3

2

x(x+2)=x(x+4)，
解得x=2，x=0（舍），
∴PB=2．

点评：本题考查线段乘积相等的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意三角形相似和圆的性质的合理运用．