Question

已知函数f（x）=（x-2）²，设a₁=3，a_n+1=a_n-

f(an)

2an-4

（1）证明：数列{a_n-2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n-2}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=na_n的通项公式，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵a_n+1=a_n-

f(an)

2an-4

，f（x）=（x-2）²，
∴a_n+1=a_n-

f(an)

2an-4

=a_n-

(an-2)2

2(an-2)

=

1

2

an+1，
即a_n+1-2

1

2

an+1-2=

1

2

(an-2)，
即数列{a_n-2}是等比数列，首项为a₁-2=3-2=1，公比q=

1

2

的等比数列，
则a_n-2=(

1

2

)n-1，即a_n=(

1

2

)n-1+2，
（2）b_n=na_n=

n

2n-1

+2n，
数列{b_n}的前n项和S_n=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)+2（1+2+3+…+n）=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)+n²+n，
令T_n=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)，
则

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，
两式相减得

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

，
即T_n=4（1-

1

2n

）-

n

2n

=4-

n+2

2n-1

，
故S_n=T_n+n²+n=4-

n+2

2n-1

+n²+n．

点评：本题主要考查等比数列的判断以及数列求和，利用错位相减法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．