Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为

3

，则该抛物线的标准方程是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：

分析：把x=-

p

2

代入y=±

b

a

x，解得y，可得|AB|=

pb

a

，利用△AOB的面积为

3

，可得

1

2

×

p

2

×

pb

a

=

3

，再利用e=

c

a

=

1+( b a )2

=2，解得

b

a

．即可得出p．

解答： 解：把x=-

p

2

代入y=±

b

a

x，解得y=±

pb

2a

．
∴|AB|=

pb

a

，
∵△AOB的面积为

3

，
∴

1

2

×

p

2

×

pb

a

=

3

，
由e=

c

a

=

1+( b a )2

=2，解得

b

a

=

3

．
∴

p2

4

×

3

=

3

，
解得p=2．
∴该抛物线的标准方程是y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．