Question

已知函数f（x）=

2

4

sin（

π

4

-x）+

6

4

cos（

π

4

-x）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若cosθ=

4

5

，θ∈(

3π

2

，2π)，求f（2θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=-

2

2

sin（x-

7π

12

），由周期公式可得；
（2）由cosθ可得sinθ=

4

5

，可得sin2θ和cos2θ的值，而f（2θ+

π

3

）=cos2θ-sin2θ，代值计算可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=

2

2

[

1

2

sin（

π

4

-x）+

3

2

cos（

π

4

-x）]
=

2

2

sin（

π

4

-x+

π

3

）=-

2

2

sin（x-

7π

12

）
∴f（x）的最小正周期T=2π；
（2）∵cosθ=

4

5

，θ∈(

3π

2

，2π)，∴sinθ=-

4

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

，cos2θ=cos²θ-sin²θ=

7

25

，
∴f（2θ+

π

3

）=-

2

2

sin（2θ+

π

3

-

7π

12

）
=-

2

2

sin（2θ-

π

4

）=cos2θ-sin2θ=

31

25

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和三角函数求值，属中档题．