Question

已知函数f（x）=

x+3

x+1

，g（x）=|x-

a

x

|．
（1）a=-2时，求函数g（x）的最小值；
（2）若对?t∈[1，3]，在区间[1，3]总存在两个不同的x，使得g（x）=f（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=-2时，g（x）=|x+

2

x

|=|x|+|

2

x

|，利用基本不等式求最小值；
（2）当t∈[1，3]时，f（t）=1+

2

t+1

∈[

3

2

，2]；故对?t∈[1，3]，在区间[1，3]总存在两个不同的x，使得g（x）=f（t）可化为方程g（x）=m，当m∈[

3

2

，2]时，在x∈[1，3]上有两个不同的根，从而讨论求解．

解答： 解：（1）当a=-2时，g（x）=|x+

2

x

|=|x|+|

2

x

|≥2

2

；
（当且仅当x=±

2

时，等号成立）；
故函数的最小值为2

2

；
（2）当t∈[1，3]时，f（t）=1+

2

t+1

∈[

3

2

，2]；
故对?t∈[1，3]，在区间[1，3]总存在两个不同的x，使得g（x）=f（t）可化为
方程g（x）=m，当m∈[

3

2

，2]时，在x∈[1，3]上有两个不同的根，
①当a=0时，g（x）=|x|，在[1，3]上单调递增，舍去；
②当a＞0时，g（x）在（0，

a

）上单调递减，在（

a

，+∞）上单调递增；
则

1＜ a ＜3 g(1)≥2 g(3)≥2

；
解得，a=3；
③当a＜0时，g（x）在（0，

-a

）上单调递减，在（

-a

，+∞）上单调递增；
则

1＜ -a ＜3 2 -a ＜ 3 2 g(1)≥2 g(3)≥2

；无解；
综上所述，a=3．

点评：本题考查了绝对值函数的最值的求法，同时考查了基本不等式的应用及恒成立问题，属于中档题．