Question

已知函数y=f（x）的图象（如图所示）过点（0，2）、（1.5，2）和点（2，0），且函数图象关于点（2，0）对称；直线x=1和x=3及y=0是它的渐近线．现要求根据给出的函数图象研究函数g（x）=

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f(x)

的相关性质与图象．
（1）写出函数y=g（x）的定义域、值域及单调递增区间；
（2）作函数y=g（x）的大致图象（要充分反映由图象及条件给出的信息）；
（3）试写出y=f（x）的一个解析式，并简述选择这个式子的理由（按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的图象及g（x）=

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f(x)

即可写出y=g（x）的定义域，值域及单调递增区间；
（2）根据（1）写出的y=g（x）的定义域、值域及单调性即可画出y=g（x）的大致图象；
（3）根据y=f（x）的图象即可写出一个y=f（x）的解析式．

解答： 解：（1）由f（x）的图象知g（x）的定义域为：{x|x≠1，x≠2，且x≠3}，值域为：（-∞，0）∪（0，+∞）；                
函数的单调递增区间为：（1，2），（2，3）；
（2）函数g（x）的大致图象如下：

（3）f（x）=

2 1-x x＜1 -2tan( π 2 x) 1＜x＜3 2 3-x x＞3

；
解析式满足在（-∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，过（0，2），（1.5，2），（2，0）；
并且其图象关于（2，0）对称；
即该解析式可作为y=f（x）的一个解析式．

点评：考查根据y=f（x）的图象写出y=

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f(x)

的定义域、值域及单调区间，根据函数的定义域、值域及单调性画出函数的大致图象的能力，以及根据函数图象能够写出它的一个解析式，函数单调性的定义及利用图象判断函数的单调性．