Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=a+t y=- 3 t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2．
（1）求曲线C₁、C₂的普通方程；
（2）若曲线C₁、C₂有公共点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由参数方程和普通方程的关系易得曲线C₁、C₂的普通方程分别为：

3

x+y-

3

a=0，x²+y²=4；
（2）由直线和圆的位置关系可得圆心（0，0）到直线

3

x+y-

3

a=0的距离d≤2，由距离公式可得d的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为

x=a+t y=- 3 t

（t为参数），
∴消去参数t可得

3

x+y-

3

a=0，
又曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，
∴

x2+y2

=2，平方可得x²+y²=4，
∴曲线C₁、C₂的普通方程分别为：

3

x+y-

3

a=0，x²+y²=4；
（2）若曲线C₁、C₂有公共点，
则圆心（0，0）到直线

3

x+y-

3

a=0的距离d≤2，
∴

|- 3 a|

3+12

≤2，解得-

4 3

3

≤a≤

4 3

3

∴a的取值范围为：[-

4 3

3

，

4 3

3

]

点评：本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．