Question

已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（

3

，0），右顶点为（2，0），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+

2

与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）直接由题意得到a，c的值，利用隐含条件求得b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，结合

OA

•

OB

＞2求得k的范围，再由判别式大于0求得k的范围，取交集后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得：a=2，c=

3

，
∴b=

a2-c2

=

4-3

=1，
∴所求的椭圆方程为：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 +y2=1 y=kx+ 2

 得：(

1

4

+k2)x2+2

2

kx+1=0．
∴x1+x2=

-2 2 k

1 4 +k2

，x1x2=

1

1 4 +k2

（*）
△=(2

2

k)2-4•(

1

4

+k2)＞0，解得：k＞

1

2

或k＜-

1

2

．
由

OA

•

OB

＞2，可得：x₁x₂+y₁y₂＞2，即x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)＞2．
整理得：(1+k2)x1x2+

2

k(x1+x2)＞0．
把（*）代入得：(1+k2)•

1

1 4 +k2

+

2

k•

(-2 2 k)

1 4 +k2

＞0，即：

4-12k2

1+4k2

＞0．
解得：-

3

3

＜k＜

3

3

．
综上：k的取值范围是-

3

3

＜k＜-

1

2

或

1

2

＜k＜

3

3

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数的关系求解，特点是计算量较大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．