Question

14．已知函数f（x）=x³lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{{e}^{3}}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{3}}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{3e}$）
• D． （$\frac{1}{3e}$，+∞）

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可．

解答 解：由f（x）=x³lnx+m=0得x³lnx=-m，
设g（x）=x³lnx，函数的定义域为（0，+∞），
则g′（x）=x²（3lnx+1），
由g′（x）＞0得x＞$\frac{1}{{e}^{3}}$，
由g′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{{e}^{3}}$，
即当x=$\frac{1}{{e}^{3}}$时，函数g（x）取得极小值同时也是最小值g（$\frac{1}{{e}^{3}}$）=-$\frac{1}{3e}$，
要使函数f（x）=x³lnx+m有2个零点，等价为方程x³lnx=-m有两个根，
则-m＞-$\frac{1}{3e}$，即m＜$\frac{1}{3e}$，
故实数m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3e}$），
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为函数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．