Question

9．已知函数f（x）=ln$\frac{ex}{2}$-f′（1）x．
（1）求f′（2）；
（2）求f（x）的单调区间和极值；
（3）设a≥1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2）使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）进行求导，得到导数f′（x），再令x=1代入f′（x），求得f′（1），即可求f′（2）；
（2）对f（x）进行求导，求出极值点，利用导数求得函数的单调区间；
（3）函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，将其转化为g（x）的最值问题，只要g（x）的最大值小于等于0即可满足．

解答 解：（I）∵f（x）=ln$\frac{ex}{2}$-f′（1）x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-f′（1），
令x=1，可得f′（1）=1-f′（1），解得f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f′（2）=$\frac{1}{2}$-f′（1）=0．…（4分）
（2）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$=0，得x=2，
∵x＞0，∴当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）；
极大值为f（2）=0．…（8分）
（3）∵f（2）=0，
由（2）可知f（x）在（0，2）上的值域为：（-∞，0）
要使对任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
可得函数g（x）的最大值小于等于0即可，
∵g（x）=x²-3ax+2a²-5，x∈（0，1），a≥1，
函数的对称为x=$\frac{3a}{2}$≥$\frac{3}{2}$，开口向上，
g（x）在（0，1）上为减函数，g（x）＜g（0），
所g（x）的最大值为g（0）=2a²-5，
∴g（0）=2a²-5≤0，a≥1，
∴1≤a≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$．…（14分）

点评 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．