Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）设E为线段PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AD=DC，求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设线段AD的中点为F，连接EF，则EF∥PD，从而EF∥平面PCD．推导出四边形DFBC为平行四边形，从而FB∥平面PCD．进而平面EFB∥平面PCD．由此能证明BE∥平面PCD．
（Ⅱ）以A为坐标原点，$\overrightarrow{AD}$的方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）设线段AD的中点为F，如图1所示：
连接EF，FB．在△PAD中，EF为中位线，
故EF∥PD．
又EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
在底面直角梯形ABCD中，FD∥BC，且FD=BC，故四边形DFBC为平行四边形，
即FB∥CD．又FB?平面PCD，CD?平面PCD，所以FB∥平面PCD．
又因为EF?平面EFB，FB?平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．
又BE?平面EFB，所以有BE∥平面PCD．…（6分）
解：（Ⅱ）如图2所示，以A为坐标原点，$\overrightarrow{AD}$的方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系．
设PA=2，则P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，2，0），B（2，1，0）．
$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AB}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{DC}=（2，0，0）$，
设$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$是平面PAB的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{z}_{1}=0\\ 2{x}_{1}+{y}_{1}=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（1，-2，0）$，
同理，设$\overrightarrow{m}$是平面PCD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（0，-1，-1）$，
从而$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．