Question

19．下列五种说法：
①函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$（x＞1）的最小值为5；
②y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）周期为π．
③已知△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，a=4$\sqrt{3}$，b=4$\sqrt{2}$，则∠A=$\frac{π}{3}$．
④若cos2α=0，则cosα=sinα．
⑤y=$\frac{{{{（sinx）}^2}+2}}{sinx}$，x∈（0，π），则y的最小值为2$\sqrt{2}$．
其中正确的命题是①．

Answer 1

分析 ①利用基本不等式进行求解判断，
②根据正切函数的周期公式进行判断，
③根据正弦定理进行求解判断，
④根据余弦函数的性质进行求解，
⑤利用基本不等式成立的条件进行判断．

解答 解：①函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+（x-1）+4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1，
∵x＞1，∴x-1＞0，
则（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1≥1+2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$=1+4=5当且仅当x-1=$\frac{4}{x-1}$，即x-1=2，x=3时取等号，故函数的最小值为5正确，故①正确；
②y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）周期为T=$\frac{π}{2}$，故②错误，
③已知△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，a=4$\sqrt{3}$，b=4$\sqrt{2}$，则$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，故③错误．
④若cos2α=0，则2α=2kπ±$\frac{π}{2}$，即a=kπ±$\frac{π}{4}$，则tanα=±1，即cosα=±sinα，故④错误，
⑤y=$\frac{{{{（sinx）}^2}+2}}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{2}{sinx}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当sinx=$\frac{2}{sinx}$，即sinx=$\sqrt{2}$，此时sinx=$\sqrt{2}$不成立，则y的最小值为2$\sqrt{2}$错误，故⑤错误，
故答案为：①．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及基本不等式的应用，三角函数的图象和性质，正弦定理的应用，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．