Question

已知函数f（x）=

(a+1)x2+1

bx

且f（1）=3，f（2）=

9

2

．
（1）求a，b的值； 
（2）求证f（x）在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件f（1）=3，f（2）=

9

2

，建立方程即可求a，b的值； 
（2）求函数f（x）的表达式，然后求函数的导数，利用导数证明函数的单调性或者利用函数单调的定义进行证明．

解答： 解：（1）∵f（x）=

(a+1)x2+1

bx

且f（1）=3，f（2）=

9

2

．
∴f（1）=

a+1+1

b

=3，即a+2=3b，①
f（2）=

4a+4+1

2b

=

9

2

．
即4a+5=9b  ②，
两式联立解得a=1，b=1．
（2）∵a=1，b=1
∴f（x）=

(a+1)x2+1

bx

=

2x2+1

x

=2x+

1

x

，
f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
当x≥1时，f'（x）≥0，此时函数单调递增，
即f（x）在[1，+∞）上是增函数．
方法2：使用定义法证明：
设1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2x₁+

1

x1

-2x₁-

1

x2

=（x₁-x₂）•

2x1x2-1

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x-1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用条件求出a，b的值是解决本题的关键．