Question

在锐角△ABC中，已知cos²A+cos²B+cos²C=sin²B，求证：tanA，tanB，tanC成等差数列．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式两边加上cos²B变形，利用同角三角函数间的基本关系化简，两边乘以2变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，积化和差后提取公因式变形，根据cosB不为0得到2cosAcosC=cosB，两边乘以sinB，再除以cosB，将sinB化为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式变形，再利用等差数列的性质化简即可得证．

解答： 证明：已知等式变形得：cos²A+2cos²B+cos²C=sin²B+cos²B=1，
即2cos²A+4cos²B+2cos²C=2，
变形得：2cos²A-1+2cos²C-1+2cos²B=-2cos²B，
即cos2A+cos2C+2cos²（A+C）=-2cos²B，
变形得：2cos（A+C）cos（A-C）+2cos²（A+C）=-2cos²B，
即2cos（A+C）[cos（A-C）+cos（A+C）]=-2cos²B，
整理得：-4cosBcosAcosC=-2cos²B，
∵cosB≠0，
∴2cosAcosC=cosB，
∴2sinBcosAcosC=sinBcosB，
两边除以cosB得：2tanBcosAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
两边除以cosAcosC得：2tanB=tanA+tanC，
则tanA，tanB，tanC成等差数列．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，积化和差公式，同角三角函数间的基本关系，以及等差数列的性质，数列掌握公式是解本题的关键．