Question

设函数f（x）=|x-4|+|x-1|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）≤5，求x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值不等式f（x）=|x-4|+|x-1|≥|x-4+（1-x）|=3即可求得f（x）的最小值；
（2）通过对自变量x范围的讨论，去掉函数f（x）=|x-4|+|x-1|中绝对值符号，转化为一次不等式，即可求得x的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-4|+|x-1|≥|x-4+（1-x）|=3，
∴f（x）_min=3；
（2）当x＜1时，f（x）=4-x+1-x=5-2x，
∴f（x）≤5?5-2x≤5，
∴0≤x＜1；
当1≤x≤4时，f（x）=4-x+（x-1）=3≤5恒成立，
∴1≤x≤4；
当x＞4时，f（x）=x-4+x-1=2x-5，
∴f（x）≤5?2x-5≤5，
解得：4＜x≤5；
综上所述，x的取值范围为[0，5]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想及解不等式的能力，去掉函数f（x）=|x-4|+|x-1|中的绝对值符号是关键，考查集合的并集运算，属于中档题．