Question

10．已知{a_n}是各项为正数的等差数列，S_n为其前n项和，且4S_n=（a_n+1）²．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\{{S_n}-\frac{7}{2}{a_n}\}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于4S_n=（a_n+1）²．令n=1，可求得a₁，再令n=2，即可求得a₂的值，从而可得正项等差数列{a_n}的公差，继而可求得其通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，于是可求得其前n项和S_n=n²，故${S}_{n}-\frac{7}{2}{a}_{n}$=${（n-\frac{7}{2}）}^{2}-\frac{35}{4}$，从而可求得数列$\{{S_n}-\frac{7}{2}{a_n}\}$的最小值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，
所以，当n=1时，$4{a_1}={（{a_1}+1）^2}$，解得a₁=1，
当n=2时，$4（1+{a_2}）={（{a_2}+1）^2}$，解得a₂=-1或a₂=3，
因为{a_n}是各项为正数的等差数列，所以a₂=3，
所以{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）因为$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，所以${S_n}=\frac{{{{（2n-1+1）}^2}}}{4}={n^2}$，
所以${S_n}-\frac{7}{2}{a_n}={n^2}-\frac{7}{2}（2n-1）$=${n^2}-7n+\frac{7}{2}$=${（n-\frac{7}{2}）^2}-\frac{35}{4}$，
所以，当n=3或n=4时，${S_n}-\frac{7}{2}{a_n}$取得最小值$-\frac{17}{2}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的通项公式及二次函数的配方法求最值，属于中档题．