Question

20．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，其中一条渐近线方程为y=3x，过点F₂作x轴的垂线与双曲线的一个交点为M，若△MF₁F₂的面积为18$\sqrt{10}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线方程，求得b=3a，求得M点坐标，根据三角形的面积公式，及双曲线的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线方程．

解答 解：由双曲线的焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，则b=3a，①
假设M在第一象限，则M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则△MF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$×2c×$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{b}^{2}c}{a}$，
即$\frac{{b}^{2}c}{a}$=18$\sqrt{10}$，②
则c²=a²-b²，③
解得：a²=2，b²=18，c²=20，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{18}=1$，
故选C．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．