Question

1．如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20$\sqrt{2}$，DA=10，CB=20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP=10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设AP=x，用x表示出PC，PD，使用余弦定理得出cos∠CPD关于x的函数式，根据函数值的符号判断∠CPD的范围．

解答 解：设AP=x，则BP=20$\sqrt{2}$-x，（0$≤x≤10\sqrt{2}$）．
∴PD=$\sqrt{{x}^{2}+100}$，PC=$\sqrt{（20\sqrt{2}-x）^{2}+400}$=$\sqrt{{x}^{2}-40\sqrt{2}x+1200}$，
CD=$\sqrt{（20\sqrt{2}）^{2}+（20-10）^{2}}$=30，
在△PCD中，由余弦定理得cos∠CPD=$\frac{P{C}^{2}+P{D}^{2}-C{D}^{2}}{2PC•PD}$
=$\frac{2{x}^{2}-40\sqrt{2}x+400}{2\sqrt{{x}^{2}+100}\sqrt{{x}^{2}-40\sqrt{2}x+1200}}$=$\frac{（x-10\sqrt{2}）^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+100}\sqrt{{x}^{2}-40\sqrt{2}x+1200}}$≥0．
∴当x=10$\sqrt{2}$时，cos∠CPD取得最小值0，此时∠CPD=90°．
当x≠10$\sqrt{2}$时，cos∠CPD＞0，此时∠CPD＜90°，
故当x=10$\sqrt{2}$时，∠CPD取得最大值90°．
故答案为10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角函数的性质，属于中档题．