Question

17．已知坐标平面上的凸四边形 ABCD 满足 $\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），则凸四边形ABCD的面积为2； $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范围是[-2，0）．

Answer 1

分析 根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决．

解答 解：∵凸四边形 ABCD 满足 $\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，且AC|=2，BD=2，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴凸四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×2×2$=2；
设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2-x，BO=2-y； $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OD}$
=x（x-2）+y（y-2）=（x-1）²+（y-1）²-2，（0＜x，y＜2）；
∴当x=y=1时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=-2为最小值，
当x→0或1，y→0或1时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$接近最大值0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范围是[-2，0）．
故答案为：2；[-2，0）．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式，属于中档题．