Question

2．过△ABC的重心G作直线MN，分别交边AB、AC于点M、N，若AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$BC，则当△ABC的面积最大时，四边形MNCB面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{6}}{18}$
• B． $\frac{5\sqrt{6}}{9}$
• C． $\frac{5\sqrt{3}}{9}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{18}$

Answer 1

分析 设AM=pAB，AN=qAC，则可求$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=pq，点E为BC中点，G为△ABC重心，则AG=$\frac{2}{3}$AE，又$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$p+$\frac{2}{3}$q），则pq=$\frac{1}{3}$（p+q），由基本不等式得pq≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{pq}$，则S_△AMN≥$\frac{4}{9}$S_△ABC，从而有S_{四边形MNBC}=S_△ABC-S_△AMN≤$\frac{5}{9}$S_△ABC，求得S_△ABC的最大值，即可得解．

解答 解：设AM=pAB，AN=qAC，则可求$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN•sinA}{\frac{1}{2}AB•AC•sinA}$=pq，
点E为BC中点，G为△ABC重心，则AG=$\frac{2}{3}$AE．
又$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△AMG}}{{S}_{△ABC}}+\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{S}_{△AMG}}{{S}_{△ABE}}+\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△ACE}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$p+$\frac{2}{3}$q），
则pq=$\frac{1}{3}$（p+q），由基本不等式得pq≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{pq}$，
解得pq≥$\frac{4}{9}$，当且仅当“p=q=$\frac{2}{3}$”时取“=”，
则S_△AMN≥$\frac{4}{9}$S_△ABC，从而有S_{四边形MNBC}=S_△ABC-S_△AMN≤$\frac{5}{9}$S_△ABC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}×x$×sinB≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时sinB=1，x=1，
综上可得有S_{四边形MNBC}≤$\frac{5}{9}$S_△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，即四边形MNBC的面积的最大值为$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，
当且仅当MN∥BC时取“=”．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角形重心的性质、三角形的面积之比，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合思想和分类讨论思想的应用，属于难题．