Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4-a_n，则满足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整数m的值为（　　）

• A． 33
• B． 32
• C． 31
• D． 30

Answer 1

分析 由S_n=4-a_n，得a₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，进而数列{a_n}是首项为2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，由此得到$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2-n}}$=$\frac{{2}^{n}}{4}$=2017+m，从而能求出满足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整数m的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4-a_n，
∴a₁=S₁=4-a₁，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），
∴2a_n=a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^2-n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2-n}}$=$\frac{{2}^{n}}{4}$=2017+m，
当n=13时，$\frac{1}{{a}_{13}}$=$\frac{{2}^{13}}{4}$=2048=2017+31，
∴满足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整数m的值为31．
故选：C．

点评 本题考查数列的通项公式中的最小正整数的值的求法，考查数列的递推式、等比数列的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．