Question

1．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁，则A₁B与AC₁所成角的正弦值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 连结A₁C，交AC₁于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，则∠AED（或其补角）就是异面直线A₁B与AC₁所成的角，由此能求出异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值．

解答 解：连结A₁C，交AC₁于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，
∵四边形AA₁C₁C是平行四边形，∴E是A₁C的中点
∵D是BC的中点，∴DE是△A₁BC的中位线，可得DE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁B，
因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A₁B与AC₁所成的角．
设AB=AC=AA₁=2，
∵∠A₁AB=60°，∴△A₁AB是等边三角形，可得A₁B=2，
得DE=$\frac{1}{2}$A₁B=1．
同理，等边△A₁AC中，中线AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁A=$\sqrt{3}$，
又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由此可得△ADE中，cos∠AED=$\frac{A{E}^{2}+D{E}^{2}-A{D}^{2}}{2AE•ED}$=$\frac{3+1-2}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．