Question

14．如图所示，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，DD₁⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）证明：CC₁∥平面A₁BD；
（Ⅲ）若DD₁=AD，求直线CC₁与平面ADD₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理和已知条件求得BD和AD的关系，进而求得AD²+BD²=AB²，推断出AD⊥BD，依据DD₁⊥平面ABCD，可知DD₁⊥BD，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）连接AC，A₁C₁，设AC∩BD=E，连接EA₁，根据四边形ABCD是平行四边形，推断出EC=$\frac{1}{2}$AC，由棱台定义及AB=2AD=2A₁B₁知A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，进而推断出四边形A₁ECC₁是平行四边形，因此CC₁∥EA₁，最后利用线面平行的判定定理推断出CC₁∥平面A₁BD．
（Ⅲ）直线EA₁与平面ADD₁A₁所成角=直线CC₁与平面ADD₁A₁所成角．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得
BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD．
∴DD₁⊥BD，
又AD∩DD₁=D，
∴BD⊥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）证明：连接AC，A₁C₁，设AC∩BD=E，连接EA₁，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC，
由棱台定义及AB=2AD=2A₁B₁知
A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，
∴四边形A₁ECC₁是平行四边形，因此CC₁∥EA₁，
又∵EA₁?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD；
（Ⅲ）解：直线EA₁与平面ADD₁A₁所成角=直线CC₁与平面ADD₁A₁所成角，
∵BD⊥平面ADD₁A₁，∴A₁D为EA₁在平面ADD₁A₁上的射影，
∴∠EA₁D是直线EA₁与平面ADD₁A₁所成角，
∵DD₁=AD，AB=2AD，AD=A₁B₁M∠BAD=60°，
∴A₁D₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AD，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，A₁E=$\sqrt{2}$AD，
∴sin∠EA₁D=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直线CC₁与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定，考查线面角．考查了学生对立体几何基础知识的掌握．