Question

10．已知幂函数f（x）=x^α（α∈R），且$f（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据$f（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出函数的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 （1）解：由${（{\frac{1}{2}}）^α}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$α=\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\sqrt{x}$；
（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x₂＞x₁≥0，
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}$，
∵${x_2}-{x_1}＞0，\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}＞0$，
∴f（x₂）＞f（x₁），
函数f（x）在定义域上是增函数．

点评 本题考查了求幂函数的解析式问题，考查函数单调性的证明，是一道基础题．