Question

已知函数f（x）=xlnx-x²+2mx+m，（m∈R）．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≤0恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出斜率和切点，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）运用分离参数，得到x≥1，f(x)≤0⇒m≤

x2-xlnx

2x+1

，设g(x)=

x2-xlnx

2x+1

，求出g（x）的最小值，注意两次运用导数，即可得到最小值．

解答： 解：（1）当m=1时，f（x）=xlnx-x²+2x+1，
f（1）=2，f′（1）=1，f′（x）=lnx-2x+3，
切线方程为y-2=x-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=x+1；
（2）∵x≥1，f(x)≤0⇒m≤

x2-xlnx

2x+1

，设g(x)=

x2-xlnx

2x+1

，g′(x)=

(2x-lnx-1)(2x+1)-2(x2-xlnx)

(2x+1)2

=

2x2-lnx-1

(2x+1)2

，
设φ(x)=2x2-lnx-1，φ′(x)=4x-

1

x

=

4x2-1

x

∵x≥1，∴φ′（x）＞0，则φ（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，
∴x≥1时，φ（x）≥φ（1）=1＞0，∴x≥1时，g′（x）＞0，
则g（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，
则g（x）在区间[1，+∞）上的最小值为g(1)=

1

3

，
当x≥1时，不等式f（x）≤0恒成立，则m≤

1

3

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用导数，求单调区间和极值、最值，属于中档题．